La Distribución de Poisson

La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson. Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.

En estadística, la distribución de Poisson es una de las distribuciones de probabilidad discreta. Esta distribución se utiliza para calcular las posibilidades de un evento con la tasa media dada de valor (λ). Una variable aleatoria de Poisson (x) se refiere al número de éxitos en un experimento de Poisson. 

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Uno de los primeros usos industriales de la distribución Poisson se aplicó en la fabricación de cervezas. Un paso fundamental en dicho proceso es la adición de la cultura de la levadura para preparar la malta para la fermentación. Se mantiene a las células vivas de levadura suspendidas en un medio líquido. Debido a que las células están vivas, su concentración en el medio cambia con el tiempo. Por tanto, antes de que se agregue la levadura, se necesita calcular la concentración de células de levadura por unidad en el volumen de la suspensión, para asegurarse de que se añadió la cantidad correcta.

La distribución de Poisson parte de la distribución binomial:

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:

Se tiene que cumplir que:

"p " < 0,10

" p * n " < 10

La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:

El numero "e" es la base del logaritmo con un valor de 2,71828

"λ" = n * p : El número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo.

"k" es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando.

Ejemplo:

La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Debido a que la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto resultante de "n * p" es menor que 10, se aplica el modelo de distribución de Poisson quedando de la siguiente manera.

Para Luego:

Es decir, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%