Ejercicios

1) Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son muy inteligente. Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.

Solución
n = 100
P = 0.03
ƛ = 100 * 0.03 = 3
x = 5

Podemos concluir que la probabilidad de tomar 5 alumnos al azar y que sean muy inteligentes es de 27,3%.

2) Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día  ¿Cuales son las probabilidades de que reciba, a) Cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

Solución:

a) x= Variable que nos define el numero de cheques sin fondo que llegan al  banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, etc.
ƛ= 6 Cheques sin fondo por día:

La Probabilidad de que reciba cuatro cheques sin fondo en un día es de 13,3%.

b) x= Variable que nos define el numero de cheques sin fondo que llegan al  banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, …, etc.
ƛ= 6x2= 12 Cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos. Nota: ƛ siempre debe estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

La Probabilidad de que 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos es de 10,49%.

Cortesía de YouTube

Distribución Acumulativa de Poisson

Una distribución acumulativa de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de obtener éxitos en un experimento de Poisson. En este caso, n es la variable aleatoria de Poisson que se refiere a la cantidad de éxito.

Formula:

Donde, P (x = 0) y P (x = 1) se calcula utilizando la fórmula de distribución de Poisson.

En muchos casos el cálculo de probabilidades de variables aleatorias que se apegan a una distribución de Poisson es largo y tedioso. En donde sea posible, al igual que en la distribución Binomial, se puede hacer uso de las tablas anexadas a continuacion, las cuales se basan en la función de distribución acumulada y tan sólo hay que aplicar las propiedades ya vistas para esta función para simplificar los cálculos.

Para efectos de representación y un mayor control de los datos que intervienen en la tabla, haremos que:

AQUI VAN LAS TABLAS

La Distribución de Poisson

La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson. Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.

En estadística, la distribución de Poisson es una de las distribuciones de probabilidad discreta. Esta distribución se utiliza para calcular las posibilidades de un evento con la tasa media dada de valor (λ). Una variable aleatoria de Poisson (x) se refiere al número de éxitos en un experimento de Poisson. 

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.

Uno de los primeros usos industriales de la distribución Poisson se aplicó en la fabricación de cervezas. Un paso fundamental en dicho proceso es la adición de la cultura de la levadura para preparar la malta para la fermentación. Se mantiene a las células vivas de levadura suspendidas en un medio líquido. Debido a que las células están vivas, su concentración en el medio cambia con el tiempo. Por tanto, antes de que se agregue la levadura, se necesita calcular la concentración de células de levadura por unidad en el volumen de la suspensión, para asegurarse de que se añadió la cantidad correcta.

La distribución de Poisson parte de la distribución binomial:

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento un número "n" muy elevado de veces y la probabilidad de éxito "p" en cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de Poisson:

Se tiene que cumplir que:

"p " < 0,10

" p * n " < 10

La distribución de Poisson sigue el siguiente modelo:

El numero "e" es la base del logaritmo con un valor de 2,71828

"λ" = n * p : El número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo.

"k" es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando.

Ejemplo:

La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Debido a que la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto resultante de "n * p" es menor que 10, se aplica el modelo de distribución de Poisson quedando de la siguiente manera.

Para Luego:

Es decir, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%

Breve Biografía de Poisson

Matemático, astrónomo y físico francés. Nació en la ciudad de Pithiviers el 21 de Junio de 1781. Huérfano a los 15 años, fue acogido por su tío, cirujano militar en Fontainebleau, quien trató de iniciarlo en la profesión. Inicialmente su formación se orientó hacia la cirugía, pero Poisson se dio cuenta de que no poseía condiciones para esta profesión que tampoco le llamaba mucho la atención. Es entonces cuando descubre su interés por las matemáticas y consigue ingresar en el año 1798 en la École Polytechnique (Escuela Politécnica) de París, siendo alumno de Lagrange y Laplace, profesores en quienes encuentra la fuente para aprender los conceptos matemáticos y el apoyo para progresar profesionalmente.

Dos años después de su ingreso como alumno, en 1800, Poisson es nombrado repetidor, dos años más tarde profesor suplente y en 1806 ya es profesor titular de la Escuela Politécnica en sustitución de otro grande de la física y la matemática Jean Baptiste Joseph Fourier.

Es aquí comienza una importante carrera, destacada por honores y reconocimientos. . En 1808 ingresa como astrónomo en el Bureau des Longitudes y un año más tarde es nombrado catedrático de mecánica racional de la Facultad de Ciencias de la Sorbona. En 1812 ingresa en la Academia de Ciencias, en 1820 en el Consejo Real de Instrucción Pública, desde donde dirige la enseñanza de las matemáticas en todos los colegios de Francia. En 1827 es nombrado geómetra del Bureau des Longitudes en sustitución de Laplace y en 1837 el rey Luís Felipe de Orleans le nombra par de Francia como representante de la ciencia francesa.

Publicó entre 300 y 400 trabajos matemáticos incluyendo aplicaciones a la electricidad y el magnetismo y la astronomía. Su nombre es asociado a un área extensa de ideas, por ejemplo: Integral de Poisson, Teoría de ecuaciones de potencia de Poisson, Avances de Poisson en ecuaciones diferenciales, La razón de la probabilidad de Poisson y La constante en electricidad de Poisson.

Poisson dedicó su vida a la investigación y enseñanza de las matemáticas. De su mano surgieron numerosas memorias con aportaciones originales en muchos campos. Y una serie de tratados con los que pretendió formar una gran obra de física matemática que no llegó a concluir.

Fue considerado por sus contemporáneos un gran científico y un excelente profesor pero también una persona obstinada y con excesivo amor propio, dado a discusiones y controversias. Entre ellas, podemos citar (Pajares, 1955) la mantenida con Laplace sobre la teoría de la capilaridad; con Fourier sobre la teoría del calor y con Fresnel, sobre la teoría ondulatoria. O el rechazo, junto con Lacroix, de la memoria presentada por Galois sobre las condiciones “para que una ecuación de grado primo sea resoluble por radicales” que tanta trascendencia ha tenido en el desarrollo de la matemática. 

Poisson muere en 1840, en Sceaux (near Paris), Francia siendo miembro de la Academia de Ciencias de París.